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第六百三十四章（第1页）

对于这个神经网络的训练过程，就是要确定这个参数。

训练的目标可以粗略概括为：对于每一个训练样本，对应的输出无限接近于1，而其它输出无限接近于0。

根据MichaelNielsen给出的实验结果，以上述网络结构为基础，在未经过调优的情况下，可以轻松达到95%的正确识别率。而核心代码只有74行！

在采用了深度学习的思路和卷积网络（convolutionalnetworks）之后，最终达到了99.67%的正确识别率。而针对MNIST数据集达到的历史最佳成绩是99.79%的识别率，是由LiWan，MatthewZeiler，SixinZhang，YannLeCun，和RobFergus在2013年做出的。

考虑到这个数据集里还有一些类似如下这样难以辨认的数字，这个结果是相当惊人的！它已经超越了真正人眼的识别了。

在这个过程中一步步调整权重和偏置参数的值，就必须引入梯度下降算法（gradientdescent）。

在训练的过程中，我们的神经网络需要有一个实际可行的学习算法，来逐步调整参数。

而最终的目的，是让网络的实际输出与期望输出能够尽量接近。我们需要找到一个表达式来对这种接近程度进行表征。这个表达式被称为代价函数（costfunction）

x表示一个训练样本，即网络的输入。其实一个x代表784个输入。

y（x）表示当输入为x的时候，期望的输出值；而a表示当输入为x的时候，实际的输出值。y（x）和a都分别代表10个输出值（以数学上的向量来表示）。而它们的差的平方，就表征了实际输出值和期望输出值的接近程度。越接近，这个差值就越小。

n是训练样本的数量。假设有5万个训练样本，那么n就是5万。因为是多次训练，所以要除以n对所有训练样本求平均值。

C（w，b）的表示法，是把costfunction看成是网络中所有权重w和偏置b的函数。为什么这样看呢？进行训练的时候，输入x是固定的（训练样本），不会变。在认为输入不变的情况下，这个式子就可以看成是w和b的函数。那么，式子右边的w和b在哪呢？实际上，在a里面。y（x）也是固定值，但a是w和b的函数。

总结来说，C（w，b）表征了网络的实际输出值和期望输出值的接近程度。越接近，C（w，b）的值就越小。因此，学习的过程就是想办法降低C（w，b）的过程，而不管C（w，b）的表达形式如何，它是w和b的函数，这就变成了一个求函数最小值的最优化问题。

由于C（w，b）的形式比较复杂，参数也非常多，所以直接进行数学上的求解，非常困难。

为了利用计算机算法解决这一问题，计算机科学家们提出了梯度下降算法（gradientdescent）。

这个算法本质上是在多维空间中沿着各个维度的切线贡献的方向，每次向下迈出微小的一步，从而最终抵达最小值。

由于多维空间在视觉上无法体现，所以人们通常会退到三维空间进行类比。当C（w，b）只有两个参数的时候，它的函数图像可以在三维空间里呈现。

就好像一个小球在山谷的斜坡上向下不停地滚动，最终就有可能到达谷底。这个理解重新推广到多维空间内也基本成立。

而由于训练样本的数量很大（上万，几十万，甚至更多），直接根据前面的C（w，b）进行计算，计算量会很大，导致学习过程很慢。

、于是就出现了随机梯度下降（stochasticgradientdescent）算法，是对于梯度下降的一个近似。

在这个算法中，每次学习不再针对所有的训练集，而是从训练集中随机选择一部分来计算C（w，b），下一次学习再从剩下的训练集中随机选择一部分来计算，直到把整个训练集用光。然后再不断重复这一过程。

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